Question

10．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M、N分别是OB、OC的中点．
（1）求证：EN与DM互相平分；
（2）若AB=AC，判断四边形DEMN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED=FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，进而可得EN与DM互相平分；
（2）矩形．由（1）可知四边形DEMN是平行四边形，再证明EN=DM即可证明DEMN是矩形．

解答 解：
（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线，
∴点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
同理得：MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥MN，DE=MN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴EN与DM互相平分；
（2）四边形DEMN是矩形；
理由：∵AB=AC
∴∠EBC=∠DCB
∵点D、E分别是边AC、AB的中点
∴EB=DC
又BC=CB
∴△EBC≌△DCB，
∴EC=DB
∵EN与DM互相平分，点M、N分别是OB、OC的中点，
∴OE=$\frac{1}{3}$EC，OD=$\frac{1}{3}$BD
∴OE=OD，
即EN=DM，
∴□DEMN是矩形．

点评 本题考查了平行四边形、矩形的判定，三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．