Question

12．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠POA=∠POB}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）解：∵OA=OC，AD=DB，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=3，
设AD=x，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴FD=2x，则OA=OF=2x-3，
在Rt△AOD中，OA²=OD²+AD²，即（2x-3）²=3²+x²，
解得，x=4，
则AD=4，AB=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10．

点评 此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．