如图①.在△ABC中.AE⊥BC于E.AE=BE.D是AE上的一点.且DE=CE.连接BD.CD．(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,(2)如图②.若将△DCE绕点E旋转一定的角度后.试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化.并说明理由,中的等腰直角三角形都换成等边三角形.其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系.并说明理由,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系；（不用证明）
（2）如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图③，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如果不能，请说明理由．

分析（1）可以证明△BDE≌△ACE推出BD=AC，BD⊥AC．
（2）如图2中，不发生变化．只要证明△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，由∠DEC=90°，推出∠ACE+∠EOC=90°，因为∠EOC=∠DOF，所以∠BDE+∠DOF=90°，可得∠DFO=180°-90°=90°，即可证明．
（3）①如图3中，结论：BD=AC，只要证明△BED≌△AEC即可．
②能；由△BED≌△AEC可知，∠BDE=∠ACE，推出∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°-（60°+60°）=60°即可解决问题．

解答解：（1）结论：BD=AC，BD⊥AC．
理由：延长BD交AC于F．

∵AE⊥CB
∴∠AEC=∠BED=90°．
在△AEC和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠AEC=∠BED}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BED，
∴AC=BD，∠CAE=∠EBD，
∵∠AEC=90°，
∴∠C+∠CAE=90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠BFC=90°，
∴AC⊥BD．

（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．

理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，
∵∠DEC=90°，
∴∠ACE+∠EOC=90°，
∵∠EOC=∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF=90°，
∴∠DFO=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC；

（3）①如图3中，结论：BD=AC，

理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC．

②能；设BD与AC交于点F，由△BED≌△AEC可知，∠BDE=∠ACE，
∴∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°-（60°+60°）=60°，
即BD与AC所成的锐角的度数为60°．