Question

如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，
①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S_△EFG与S_△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；
（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2-1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；
②首先求出△ACD的面积：S_△ACD=8；若S_△EFG与S_△ACD存在8倍的关系，则S_△EFG=64或S_△EFG=1；如答图2-2所示，求出S_△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．

解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2．
∴A（-2，0）、B（0，4）．
∵抛物线的顶点为点A（-2，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）²，
点C（0，-4）在抛物线上，代入上式得：-4=4a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+2）²．

（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），
则平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m）²+2m+4，
∴F（0，-m²+2m+4）．
①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，
∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，
∴△BAO∽△BFE，
∴

OA

EF

=

OB

BE

，即

2

EF

=

4

BE

，可得：BE=2EF．
如答图2-1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．

∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，-m²+2m+4），
∴BH=|2m|，FH=|-m²|．
在Rt△BEF中，由射影定理得：BE²=BH•BF，EF²=FH•BF，
又∵BE=2EF，∴BH=4FH，
即：4|-m²|=|2m|．
若-4m²=2m，解得m=-

1

2

或m=0（与点B重合，舍去）；
若-4m²=-2m，解得m=

1

2

或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．
∴m=-

1

2

，
∴E（-

1

2

，3）．
②假设存在．
联立抛物线：y=-（x+2）²与直线AB：y=2x+4，可求得：D（-4，-4），
∴S_△ACD=

1

2

×4×4=8．
∵S_△EFG与S_△ACD存在8倍的关系，
∴S_△EFG=64或S_△EFG=1．
联立平移抛物线：y=-（x-m）²+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m-2，2m）．
∴点E与点G横坐标相差2，即：|x_G|-|x_E|=2．

当顶点E在y轴左侧时，如答图2-2，S_△EFG=S_△BFG-S_△BEF=

1

2

BF•|x_G|-

1

2

BF|x_E|=

1

2

BF•（|x_G|-|x_E|）=BF．
∵B（0，4），F（0，-m²+2m+4），∴BF=|-m²+2m|．
∴|-m²+2m|=64或|-m²+2m|=1，
∴-m²+2m可取值为：64、-64、1、-1．
当取值为64时，一元二次方程-m²+2m=64无解，故-m²+2m≠64．
∴-m²+2m可取值为：-64、1、-1．
∵F（0，-m²+2m+4），
∴F坐标为：（0，-60）、（0，3）、（0，5）．
同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，5）；
综上所述，S_△EFG与S_△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，-60）、（0，3）、（0，5）．

点评：本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大．第（2）①问中，解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF；第（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．