Question

在平面直角坐标系xOy中，过点A（6，5）作AB⊥x轴于点B．半径为r（0＜r＜5）的⊙A与AB交于点C，过B点作⊙A的切线BD，切点为D，连接DC并延长交x轴于点E．
（1）当r=

5

2

时，EB的长等于

 

；
（2）点E的坐标为

 

（用含r的代数式表示）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接AD，根据AD=AC=

5

2

，AB=5，∠ADB=90°，可知CD是AB边上的中线，等于斜边的一半，所以∠CAD=∠ADC=∠ACD=∠ECB=60°，EC=2BC=5，根据EB=

EC2-BC2

即可得出结论；
（2））根据BC=AB-AC=5-r可知C（6，5-r），过点D作x轴的垂线，垂足为F，根据勾股定理可知DB²=AB²-AD²=25-r²；由相似三角形的判定定理得出△ABD∽△BDF，故可得出DF及BF的值，再根据DF∥AB得出△BCE∽△FDE，故

BE

EF

=

BC

DF

，解得BE=

25-r2

，再根据B点坐标即可得出结论．

解答：解：（1）连接AD，
∵AD=AC=

5

2

，AB=5，∠ADB=90°，
∴CD是AB边上的中线，等于斜边的一半，
∴∠CAD=∠ADC=∠ACD=∠ECB=60°．
∴EC=2BC=5，EB=

EC2-BC2

=

5 3

2

；
故答案为：

5 3

2

；

（2）∵BC=AB-AC=5-r，
∴C（6，5-r），
过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵AB=5，∠ADB=90°，AD=r，
∴DB²=AB²-AD²=25-r²；
∵DF⊥x轴，AB⊥x轴，
∴DF∥AB，
∴∠BDF=∠ABD，∠BFD=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△BDF，
∴

DF

DB

=

DB

AB

=

DB2 AB2

=

25-r2 25

，
∴DF=

25-r2 25

•DB=

25-r2 25

×

25-r2

=

25-r2

5

，
同理，BF=

r• 25-r2

5

，
∵DF∥AB，
∴△BCE∽△FDE，
∴

BE

EF

=

BC

DF

，即

BE

BE+ r• 25-r2 5

=

5-r

25-r2 5

，解得BE=

25-r2

，
∴E（6+

25-r2

，0）或（6-

25-r2

，0）．
故答案为：（6±

25-r2

，0）．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识，难度适中．