Question

15．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB=AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．

Answer 1

分析 （1）由△AEF≌△CED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC=90°，即可推出四边形ADCF是矩形．
（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDC，
∵E是AC中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠CDE}\\{∠AEF=∠CED}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CED，
∴EF=DE，∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是矩形．

（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，
∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，
∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．

点评 本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．