Question

如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，∠ABC=60°，AD=2，BC=4，M是AB中点．将AB所在的直线l绕点M逆时针旋转，旋转角为α．旋转后的直线l分别交DA延长线、边BC于E、F两点，连接BE、AF．
（1）求证：四边形AEBF为平行四边形；
（2）当α为多少度时，四边形AEBF为矩形，请说明理由，并求此时EF的长．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）求出EM=FM，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）求出BM=FM=EM=AM，推出AB=EF，根据矩形的判定推出即可，求出AB长，即可得出答案．

解答：
（1）证明：如图1，∵AD∥BC，
∴∠MAE=∠MBF

∠AME=∠BMF ∠MAE=∠MBF AM=BM

，
∵M是AB中点，
∴AM=BM，
在△AME和△BMF中

∠AME=∠BMF ∠MAE=∠MBF AM=BM

，
∴△AME≌△BMF，
∴EM=MF，
∵AM=BM，
∴四边形AEBF为平行四边形；
   
（2）解：当α=60°时，四边形AEBF为矩形，
理由是：如图2，∵∠ABC=60°，α=60°
∴△BMF为等边三角形，
∴BM=MF，
由（1）得：AM=BM=

1

2

AB，EM=FM=

1

2

EF，
∴AB=EF，
又∵四边形AEBF为平行四边形，
∴四边形AEBF为矩形，
∴AF⊥BC，
∴∠C=∠D=∠AFC=90°，
∴四边形AFCD为矩形，
∴CF=CD=2，BF=4-2=2，
∴在Rt△ABF中，∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4，
∴EF=AB=4．

点评：本题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．