Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、BD．
（1）求弦AB的长；
（2）当∠ADC=15°时，求弦BD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）如图，过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理知道E是AB的中点，然后在Rt△OEB中利用已知条件即可求解；
（2）由∠ADC=15°，可以求得△OBD是等腰直角三角形，即可以得到答案．

解答：解：（1）如图1，过O作OE⊥AB于E，
∴E是AB的中点，
 在Rt△OEB中，OB=4，∠B=30°，
∴OE=2，
∴BE=2

3

∴AB=2BE=4

3

．
（2）如图2，在图1的基础上连接BD，
∵∠ADC=15°，OA=OD，
∴∠OAD=15°，
又∵∠OBC=30°，OA=OB，
∴∠ADC=30°，
∴∠DAC=45°
∴∠DOB=90°
∴BD=

OB2+OD2

=

42+42

=4

2

．

点评：此题综合考查了垂径定理、解直角三角形的应用及三角形的外角和内角的关系，同时也利用勾股定理进行计算．