Question

如图，⊙O与射线AM相切于点B，圆心O在射线AN上，⊙O半径为6cm，OA=10cm．点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AN方向运动，过P点作直线l垂直AB，当l与⊙O相切时，所用时间是（　　）

• A、

  5

  4

  秒
• B、

  5

  2

  秒
• C、

  5

  4

  秒或

  35

  4

  秒
• D、

  5

  2

  秒或

  35

  2

  秒

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：动点型,分类讨论

分析：当l平移到l′和l″时，与⊙O相切，切点分别为C点和D点，如图，根据切线的性质得到四边形BOCE和四边形BODF都是矩形，则BE=OC=6，BF=OD=6，在Rt△AOB中利用勾股定理计算出AB=8，则AE=AB-BE=2，AF=AB+BF=14，利用PE∥OB得到

AP

AO

=

AE

AB

，利用比例性质可计算出AP=

5

2

，易得点P运动的时间为

5

4

秒；接着证明△QOD∽△QAF，利用相似比计算出AQ=

35

2

，易得点P运动到点Q时的时间为

35

4

秒．

解答：解：当l平移到l′和l″时，与⊙O相切，切点分别为C点和D点，如图，
则OC=OD=6，OC⊥l′，OD⊥l″，
∵⊙O与射线AM相切于点B，
∴OB⊥AM，
∵l⊥AB，
∴四边形BOCE和四边形BODF都是矩形，
∴BE=OC=6，BF=OD=6，
在Rt△AOB中，∵OB=6，OA=10，
∴AB=

OA2-OB2

=8，
∴AE=AB-BE=2，AF=AB+BF=14，
∵PE∥OB，
∴

AP

AO

=

AE

AB

，即

AP

10

=

2

8

，
∴AP=

5

2

，
∴点P运动的时间=

5

2

÷2=

5

4

（秒）；
∵OD∥AF，
∴△QOD∽△QAF，
∴

OQ

AQ

=

OD

AF

，即

AQ-10

AQ

=

6

14

，
∴AQ=

35

2

，
∴点P运动到点Q时的时间=

35

2

÷2=

35

4

（秒），
即当l与⊙O相切时，所用时间为

5

4

秒或

35

4

秒．
故选C．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．