Question

【题目】如图，已知四边形中，，，，.

（1）求四边形的面积；

（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向，向点运动；动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向，向点运动，过点作于点.若、两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为.问：

①当点在上运动时，是否存在这样的，使得直线将四边形的周长平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）40；（2）①当时，将四边形的周长平分.②或时，以、、为顶点的三角形与相似.

【解析】

（1）作交于点，利用勾股定理的逆定理证得四边形是直角梯形，然后根据直角梯形的面积公式即可求得；

（2）①利用周长平分，列出方程即可求解；

②当点P在AB上时，分和两种情况，根据等角的正切函数构建方程即可求解；当点P在AD和DC上时，不可能构成与相似的三角形.

（1）过点作交于点，

∵，

∴四边形是平行四边形.

∴；.

∴.

∵，

∴，

∴.

∴.

∴四边形是直角梯形.

.

（2）①当点在上运动时，，

∴，，

∵，

∴.

∴.

∴当时，将四边形的周长平分.

②∵，，，

∴点运动到时运动停止，

∴.

第一种情况：，若，则.

∴.

∴，∴.

若，则，

∴，

∴，∴.

第二种情况：，、、三点不能组成三角形；

第三种情况：，为钝角三角形与不相似；

∴或时，以、、为顶点的三角形与相似.