Question

9．如图．在菱形ABCD中，BC边的中垂线EF交AD边于F，G是CD中点．
（1）求证：EG=FG；
（2）若△DFG为等腰三角形，求∠D的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长FH交BC的延长线于M，由△FDH≌△MCH，推出FH=HM，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）分两种情形①当FD=FH时，设∠M=∠DFH=x，构建方程解决问题．②当∠D=90°时，易知DF=DH，△DEF是等腰直角三角形．

解答 （1）证明：如图1中，延长FH交BC的延长线于M/

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BM，
∴∠DFH=∠M，
在△FDH和△MCH中，‘
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFH=∠M}\\{∠FHD=∠CHM}\\{DH=HC}\end{array}\right.$，
∴△FDH≌△MCH，
∴FH=HM，
∵FE⊥BC，
∴∠FEM=90°，
∴EH=FH=HM，
∴EH=FH．

（2）解：如图2中，

①当FD=FH时，设∠M=∠DFH=x，
∵BE=EC，CH=DH，BC=CD，
∴EC=CH，
∴∠CEH=∠CHE，
∵HE=HM，
∴∠CEH=∠CHE=∠M=x，
∴∠HCM=∠ECH+∠EHC=2x=∠D=∠FHD，
∵∠DFH+∠D+∠FHD=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴5x=180°，
∴x=36°，
∴∠D=72°．
②当∠D=90°时，易知DF=DH，△DEF是等腰直角三角形，
综上所述，当△DFH是等腰三角形时，∠D=72°或90°．

点评 本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．