Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
（1）CA•CE与CB•CF相等吗？为什么？
（2）连接EF交CD于点O，线段OC、OD、OE、OF成比例吗？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）CA•CE=CB•CF，理由为：由一对直角相等及一对公共角相等，得到三角形CED与三角形DCA相似，由相似得比例列出关系式，同理得到三角形CDF与三角形CBD相似，由相似得比例列出关系式，等量代换即可得证；
（2）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：由∠CED=∠CFD=90°，得到C，E，D，F四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等得到两对角相等，确定出三角形OED与三角形OCF相似，由相似得比例即可得证．

解答：解：（1）CA•CE=CB•CF，理由为：
∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴

CE

CD

=

CD

CA

，即CD²=CE•CA，
∵∠CFD=∠CDB=90°，∠FCD=∠DCB，
∴△CDF∽△CBD，
∴

CF

CD

=

CD

CB

，即CD²=CB•CF，
则CA•CE=CB•CF；
（2）线段OC、OD、OE、OF成比例，理由为：
∵∠CED=∠CFD=90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠FED=∠FCD，∠DEC=∠EFC，
∴△ODE∽△OCF，
∴

OC

OD

=

OF

OE

，即OC：OD=OF：OE，
则线段OC、OD、OE、OF成比例．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．