如图.△ABC中.∠B=90°.点D在射线BC上运动.DE⊥AD交射线AC于点E．(1)如图1.若∠BAC=60°.当AD平分∠BAC时.求∠EDC的度数,(2)如图2.当点D在线段BC上时.①求证:∠EDC=∠BAD②作EF⊥BC于F.∠BAD.∠DEF的角平分线相交于点G.随着点D的运动.∠G的度数会变化吗?如果不变.求出∠G的度数,如果变化.说明理由,(3)如图3.当点D在BC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图，△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．
（1）如图1，若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，①求证：∠EDC=∠BAD
②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；
（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？请说明理由．

分析（1）先求出∠ACB=30°，再利用角平分线得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出结论；
（2）①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论；
②先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF=90°，进而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论；
（3）利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论．

解答解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠ADC=120°，
∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°；

（2）①在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠EDC+∠ADB=90°，
∴∠EDC=∠BAD；
②∠G的度数不变，
理由：∵EF⊥BC，
∴∠EDF+∠DEF=90°，
∵∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠ADB=∠DEF，
∵∠BAD+∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠DEF=90°，
∵∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，
∴∠DAG=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠DEG=$\frac{1}{2}$∠DEF，
∴∠DAG+∠DEG=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠DEF）=45°，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，
∴∠G=45°；

（3）∠G的度数不变化，
理由：如图3，∵AD⊥DE，
∴∠ADB+∠BDE=90°，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF+∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠DEF，
∵EM是∠DEF的角平分线，
∴∠DEM=$\frac{1}{2}$∠DEF=$\frac{1}{2}$∠ADB，
∵AG平分∠BAD，
∴∠DAG=$\frac{1}{2}$∠BAD，
延长DE交AG于N，
∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，
∴∠ENG=∠AEN+∠EAG
=90°+∠DAE+∠EAG
=90°+∠DAG
=90°+$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠G=180°-（∠ENG+∠GEN）
=180°-（∠ENG+∠DEM）
=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADB）
=90°-$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADB）
=45°．