Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+2经过点A、B，且12a+10=0，正方形OABC的AB边上的动点P以2cm/s的速度由A向点B运动，同时，点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动，设运动时间为ts．
（1）求抛物线的解析式；
（2）t为何值时，PQ∥AC？
（3）设S=PQ²，试写出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）在（3）中，当S取最小值时，在抛物线上有点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R坐标（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

Answer 1

分析 （1）由于12a+10=0，解方程可求a的值，再令抛物线y=ax²+bx+2的x=0，可得y=2，从而得到正方形OABC的边长为2，可得A（0，2），B（2，2），再根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）由于PQ∥AC，可得AP=CQ，得到关于t的方程，解方程即可求解；
（3）根据勾股定理可求S与t的函数关系式；
（4）分三种情况：①若以PB为对角线，②若以PQ为对角线，③若以BQ为对角线，进行讨论可求点R坐标．

解答 解：（1）12a+10=0，
解得a=-$\frac{5}{6}$，
y=ax²+bx+2，
∵令抛物线y=ax²+bx+2的x=0，可得y=2，
∴正方形OABC的边长为2，
∴A（0，2），B（2，2），
∴2=-$\frac{5}{6}$×2²+2b+2，
解得b=$\frac{5}{3}$．
故抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{5}{3}$x+2；
（2）∵PQ∥AC，AB=BC，
∴AP=CQ，
∴2t=2-t，
解得t=$\frac{2}{3}$．
故t为$\frac{2}{3}$时，PQ∥AC．
（3）BP=2-2t，BQ=t，
在Rt△PBQ中，S=PQ²=BP²+BQ²=（2-2t）²+t²=5t²-8t+4=5（t-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{4}{5}$（0≤t≤1）；
（4）当S最小时，t=$\frac{4}{5}$，
AP=$\frac{8}{5}$，BQ=$\frac{4}{5}$，P=$\frac{2}{5}$．
①若以PB为对角线，则R₁（$\frac{8}{5}$，$\frac{14}{5}$），当x=$\frac{8}{5}$时，y=-$\frac{5}{6}$×（$\frac{8}{5}$）²+$\frac{5}{3}$×$\frac{8}{5}$+2=$\frac{38}{15}$≠$\frac{14}{5}$，故不在抛物线上；
②若以PQ为对角线，显然不存在；
③若以BQ为对角线，则R₂（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$），当x=$\frac{12}{5}$时，y=-$\frac{5}{6}$×（$\frac{12}{5}$）²+$\frac{5}{3}$×$\frac{12}{5}$+2=$\frac{6}{5}$；
故存在点R（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$），使得P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

点评 此题主要考查二次函数综合题，主要利用了正方形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，二次函数的最值问题，以及平行四边形的性质，因为平行四边形的对边没有明确，注意运用分类讨论思想．