Question

已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．

（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；

（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）

（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

Answer 1

解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．

∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，

∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．

当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，

则有∠ACP=90°，

∴cos∠CAP===，

解得AP=；

（2）有4个位置使△CQD的面积为．

提示：设点Q到CD的距离为h，

∵S_△CQD=CD•h=×2×h=，

∴h=．

由于h=＜1，结合图2可得：

有4个位置使△CQD的面积为；

（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．

∵S_△CQD=CD•QN=×2×QN=，∴QN=．

∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，

∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，

∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，

∴△QNC∽△DNQ，

∴=，

∴QN²=CN•DN，

设CN=x，则有=x（2﹣x），

整理得4x²﹣8x+1=0，

解得：x₁=，x₂=．

∵CQ＞QD，∴x=，

∴=2+．

∵QN⊥CD，PM⊥CD，

∴∠PMC=∠QNC=90°．

∵∠MCP=∠NCQ，

∴△PMC∽△QNC，

∴==2+，

∴MC=（2+）MP．

在Rt△AMP中，

tan∠MAP==tan30°=，

∴AM=MP．

∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，

∴MP=，

∴AP=2MP=．