Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据 SAS，可得△ABF与△CBF与△CDE与△ADE的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果；
（2）根据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，根据勾股定理，可得AC、EF的长，根据菱形的面积公式，可得答案．

解答：（1）证明：正方形ABCD中，对角线BD，
∴AB=BC=CD=DA，
∠ABF=∠CBF=∠CDE=∠ADE=45°．
∵BF=DE，
∴△ABF≌△CBF≌△DCE≌△DAE（SAS）．
AF=CF=CE=AE
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD=

AB2+BD2

=

22+22

=2

2

，
BC=AD=2

2

，
EF=BC-BF-DE=2

2

-1-1，
四边形AECF的面积=AD•EF÷2
=2

2

×(2

2

-2)÷2
=4-2

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，（1）先证明四个三角形全等，再证明四边相等的四边形是菱形；（2）先求出菱形的对角线的长，再求出菱形的面积．