Question

4．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么?ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理得到EF=HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，再根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明．

解答 解：是，
理由：∵E、F分别是OA、OB的中点，
∴FE=$\frac{1}{2}$AB，FE∥AB，
G、H分别是OC、OD的中点，
∴HG=$\frac{1}{2}$CD，HG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴EF=HG，FE∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵FE∥AB，
∴∠OEF=∠OAB，
同理∠OEH=∠OAD，
∴∠HEF=∠DAB，
同理，∠EFG=∠ABC，∠FGH=∠BCD，∠GHE=∠CDA，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FG}{BC}$=$\frac{GH}{CD}$=$\frac{HE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD，
又∵各组对边对应点得连线相交于点O，
∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心．

点评 本题考查的是相似多边形的判定、三角形中位线定理，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．