Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF=DE，连接AF、DC．求证：四边形ADCF是菱形．

Answer 1

分析 先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE∥BC，证出AC⊥DF，即可得出结论

解答 证明：∵点E是边AC的中点，
∴AE=EC．
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°．
∴AC⊥DF．                                            
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE∥BC是解决该题的关键．