Question

13．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=4，AB=3．
如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t=2时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

Answer 1

分析 （1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，由矩形的性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得出△ABD∽△NBO，则利用相似比求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出点D、P的坐标；
（2）分类讨论：当点P在边AB上时，BP=6-t，由三角形的面积公式得出S=$\frac{1}{2}$BP•AD；当点P在边BC上时，BP=t-6，同理得出S=$\frac{1}{2}$BP•AB；即可得出结果；
（3）先利用待定系数法法求出直线OB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，设点D（m，-$\frac{3}{4}$m），而OD=t，利用勾股定理得到m²+（-$\frac{3}{4}$m）²=t，解得m=-$\frac{4}{5}$t，所以D（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），然后分类讨论：当点P在边AB上时，P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{3}{5}$t+t），即P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{8}{5}$t）（0≤t≤3），若△PEO∽△BCD，则PE：BC=OE：CD，若△PEO∽△DCB，则PE：DC=OE：BC，再利用相似比求出满足条件的t的值；当点P在边BC上时，先确定P（-7+$\frac{1}{5}$t，$\frac{3}{5}$t+3），
若△PEO∽△BCD，则PE：BC=OE：CD，若△PEO∽△DCB，则PE：DC=OE：BC，再利用相似比求出满足条件的t的值．

解答 解：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1，
则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，CD=AB=3，BC=AD=4，
∴BD=5，
当t=2时，OD=2，
∴BO=7，
∵AD∥NO，
∴△ABD∽△NBO，
∴$\frac{AB}{BN}$=$\frac{AD}{NO}$=$\frac{BD}{BO}$，$\frac{3}{NB}$=$\frac{4}{NO}$=$\frac{5}{7}$，
∴BN=$\frac{21}{5}$，NO=$\frac{28}{5}$，
∴OM=$\frac{8}{5}$，DM=AN=$\frac{6}{5}$，PN=2×1+$\frac{6}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），P（-$\frac{28}{5}$，$\frac{16}{5}$）；
（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=3-t，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•AD=$\frac{1}{2}$（3-t）×4=-2t+6；
②当点P在边BC上时，BP=t-3，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•AB=$\frac{1}{2}$（t-3）×3=$\frac{3}{2}$t-$\frac{9}{2}$；
（3）设直线OB的解析式为y=kx，
把（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）代入得-$\frac{8}{5}$k=$\frac{6}{5}$，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线OB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，
设点D（m，-$\frac{3}{4}$m），而OD=t，
∴m²+（-$\frac{3}{4}$m）²=t，解得m=-$\frac{4}{5}$t，
∴D（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
当点P在边AB上时，P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{3}{5}$t+t），即P（-$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{8}{5}$t）（0≤t≤3），
若△PEO∽△BCD，则PE：BC=OE：CD，即$\frac{8}{5}$t：4=（$\frac{4}{5}$t+4）：3，解得t=10（舍去），
若△PEO∽△DCB，则PE：DC=OE：BC，即$\frac{8}{5}$t：3=（$\frac{4}{5}$t+4）：4，解得t=3，
当点P在边BC上时，P（-7+$\frac{1}{5}$t，$\frac{3}{5}$t+3），
若△PEO∽△BCD，则PE：BC=OE：CD，即（$\frac{3}{5}$t+3）：8=（7-$\frac{1}{5}$t）：3，解得t=$\frac{235}{13}$（舍去），
若△PEO∽△DCB，则PE：DC=OE：BC，即（$\frac{3}{5}$t+3）：3=（7-$\frac{1}{5}$t）：4，解得t=3，
综上所述：当t=3时，△PEO与△BCD相似．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，由三角形相似得出比例式才能得出结果．