Question

5．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°°，AC=3，BC=4．
（1）求AB的长；
（2）在直线AC、BC上分别取一点M、N，使得△AMN≌△ABN，求CN的长．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB即可；
（2）分两种情况：①当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，则BN=MN，且AM=AB=5，求出CM，设CN=x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，则BN=MN，且AM=AB=5，求出CM=8，设CN=x，则BN=MN=x+4，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）分两种情况：
①如图1所示：
当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，有△AMN≌△ABN，
则BN=MN，且AM=AB=5，
∴CM=2，
设CN=x，
在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴CN=$\frac{3}{2}$；
②如图2所示：
当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，有△AMN≌△ABN，
则BN=MN，且AM=AB=5，
∴CM=8，
设CN=x，则BN=MN=x+4，
在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，
即8²+x²=（4+x）²，
解得：x=6，
∴CN=6；
综上所述：CN的长为$\frac{3}{2}$或6．

点评 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．