Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，直线EF与直线BC交于H．
（1）如图①，当点D在边BC上时，试说明：AD²=DH•AC；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AD²=DH•AC；是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AD、DH、AC之间存在的数量关系；
（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AD、DH、AC之间存在的数量关系．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）通过△ACD∽△DEH的对应边成比例得到

AD

DH

=

AC

DE

，即

AD

DH

=

AC

AD

，则AD²=DH•AC；
（2）图（2）中，AD²=DH•AC仍然成立．易证△ACD∽△DEH，则该相似三角形的对应边成比例：

AD

DH

=

AC

DE

，即

AD

DH

=

AC

AD

，则AD²=DH•AC；
（3）如图3，解题思路同（2）．易证△ACD∽△DEH，则该相似三角形的对应边成比例：

AD

DH

=

AC

DE

，即

AD

DH

=

AC

AD

，则AD²=DH•AC．

解答：（1）证明：∵四边形ADEF是菱形，∠DAF=60°
∴AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，
∴∠1=∠2．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，∠ACD=∠E，
∴△ACD∽△DEH，
∴

AD

DH

=

AC

DE

，即

AD

DH

=

AC

AD

，
∴AD²=DH•AC；

（2）结论是：图（2）中，AD²=DH•AC仍然成立．
理由如下：如图2，∵在菱形ADEF中，AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，
∴∠ADC=∠DHE，∠DEF=120°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°，
∴∠ACD=∠DEH，
∴△ACD∽△DEH，
∴

AD

DH

=

AC

DE

，即

AD

DH

=

AC

AD

，则AD²=DH•AC；

（3）补全图形是如图3．数量关系AD²=DH•AC．理由同（2）．

点评：本题考查了相似三角形的判断与性质，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．