已知.如图.在平面直角坐标系xOy中.点A.B.C分别为坐标轴上的三个点.且OA=1.OB=3.OC=4．(1)求经过A.B.C三点的抛物线的解析式及顶点坐标,(2)在抛物线上是否存在一点P.使△ACP的面积等于△ACB的面积?若存在.请求出点P的坐标,若不存在.请说明理由,(3)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q.使得以点A.B.C.Q为顶点的四边形为菱形?若存在.请求出点Q的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得答案；
（2）根据等底等高的三角形面积相等，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据菱形的四边相等，可得QB的长，根据菱形的对边平行，可得Q点的纵坐标．

解答解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵OA=1，OB=3，OC=4．
∴A（1，0）、B（0，3）、C（-4，0），
将A，B，C代入函数解析式，得
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=3\\ 16a-4b+c=0\end{array}\right.$
解得：a=$-\frac{3}{4}$，b=$-\frac{9}{4}$，c=3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3；
∵y=$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3=$-\frac{3}{4}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{16}$
∴抛物线的顶点坐标是（$-\frac{3}{2}，\frac{75}{16}$），

（2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为：
设点P的坐标为P（m，n），
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，S_△ACP=$\frac{1}{2}$×5×|n|
∴$\frac{1}{2}$×5×|n|=$\frac{15}{2}$，n=±3
∴当n=3时，$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3=3，解得x₁=0（舍），x₂=-3即P（-3，3）
当n=-3时，$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3=-3，解得x₁=$\frac{{-3+\sqrt{41}}}{2}$，x₂=$\frac{{-3-\sqrt{41}}}{2}$，即P ₂（$\frac{{-3+\sqrt{41}}}{2}$，-3），P₃（$\frac{{-3-\sqrt{41}}}{2}$，-3）
综上所述：P的坐标为P ₁（-3，3），P ₂（$\frac{{-3+\sqrt{41}}}{2}$，-3），P₃（$\frac{{-3-\sqrt{41}}}{2}$，-3）

（3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BQ=AC=BC=5，
∵∵BQ∥AC，
∴点Q到x轴的距离等于OB=3，
∴点Q的坐标为（5，3），
当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形．

点评本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用等底等高的三角形面积相等得出P点的纵坐标，有利用自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用菱形的四边相等得出QB的长．

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