Question

6．已知：分别连接正方形对边的中点，能将正方形划分成四个面积相等的小正方形．用上述方法对一个边长为1的正方形进行划分：第1次划分得到图1，图1中共有5个正方形；第2次，划分图1左上角的正方形得到图2，图2中共有9个正方形；…；若每次都把左上角的正方形按上述方法依次划分下去．请从下列的A、B两题中任选一题作答．我选择A题．
A．第n次划分得到的图中共有4n+1个正方形．（用含n的式子表示）
B．借助划分得到的图形，计算（$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$）的结果为1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）（1）由第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，可得规律：第n次可得（4n+1）个正方形；
（2）此题可看作上面几何体面积问题，即可求得答案．

解答 解：我选择第A题，
故答案为：A，
（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
∴第n次可得（4n+1）个正方形，
故答案为：4n+1；

（2）根据题意得：原式=（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$）+（$\frac{1}{{4}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{3}}$）+…+（$\frac{1}{{4}^{n-1}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$）=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$，
故答案为：1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．

点评 此题考查了规律问题．注意根据题意得到规律：第n次可得（4n+1）个正方形是解此题的关键．