Question

18．如图，一个以BC为底边的等腰△ABC，底边上的高AD=BC
（1）tan∠ABC=2和sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）在等腰△ABC中，若底边BC=5米，求腰上的高BE．

Answer 1

分析 （1）设BD=x，根据等腰三角形的性质知BD、AB，再由三角函数的定义可得；
（2）由等腰三角形的性质知BD=$\frac{5}{2}$、AD=5，由勾股定理得AC=$AB=\frac{5}{2}\sqrt{5}$，根据$S=\frac{1}{2}BC•AD=\frac{1}{2}AC•BE$可得答案．

解答 解：（1）设BD=x，
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=x，AD=BC=BD+DC=2x，
在 Rt△ABD中，$AB=\sqrt{A{D^2}+B{D^2}}=\sqrt{5}x$，
∴$tan∠ABD=\frac{AD}{BD}=2$，$sin∠ABC=\frac{AD}{AB}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
故答案为：2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（2）∵BC=5，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，AD=BC=5，
在 Rt△ABD，勾股定理得：AC=$AB=\frac{5}{2}\sqrt{5}$，
∵$S=\frac{1}{2}BC•AD=\frac{1}{2}AC•BE$，
∴$BE=2\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查解直角三角形及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数的定义是解题的关键．