Question

17．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件，你添加的条件是AB=BC．
（2）问题探究：
如图2，在“等邻边四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=6，求对角线AC的长．
（3）拓展应用：
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，AC为对角线，试探究AC，BC，DC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据定义可知：只需要一组邻边相等即可．
（2）由AB=AD，∠BAD=60°，可知△ABD是等边三角形，再由∠ABC=∠ADC=90°，可知CB=CD，所以AC垂直平分BD，然后利用直角三角形的相关性质分别计算出AO和OC的长度．
（3）由于∠BAD+∠BCD=90°，所以考虑构造直角三角形使得该直角三角形的三边长度分别是AC、BC、CD的长度，然后利用勾股定理即可得出AC²=BC²+CD²

解答 解：（1）根据定义：AB=BC．

（2）连接AC、BD交于点O，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△BOC中，
tan∠CBD=$\frac{OC}{BO}$，
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴AC=AO+OC=4$\sqrt{3}$；

（3）过点C作CE⊥BC于点C，且使得CE=CD，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，∠EDC=60°，
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
在△ADC和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC=BE，
∵∠BCE=90°，
∴BE²=BC²+CE²，
即AC²=BC²+CD²

点评 此题是三角形综合题，主要考查新定义等邻边四边形，理解这个新定义，主要利用到构造直角三角形，然后利用等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质即可得出结论．新定义的理解是解本题的关键．