Question

如图，已知直线y=交坐标轴于A，B 两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵直线y=，
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，
∴OA=1，OB=2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=∠AOB=∠CZB=90°，
∴∠ABO+∠CBZ=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBZ，
在△AOB和△BZC中
，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA=BZ=1，OB=CZ=2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐标是（1，3）；

（2）设抛物线为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），
∴，
解得：a=-，b=，c=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1；

（3）∵OA=1，OB=2，
∴由勾股定理得：AB=，
①当点A运动到x轴上点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，tan∠OFA==，
∴tan∠GFB′===，
∴GB′=t，
∴S_△FB′G=FB′×GB′=•t•t，
∴S=t²；
②当点C运动x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
∵AB=A′B′=，
∴A′F=t-，
∴A′G=，
∵B′H=t，
∴S_{四边形A′B′HG}=（A′G+B′H）•A′B′=•（+t），
∴S=t-；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G=，
∴GD′=-=，
∵S_△AOF=×2×1=1，OA=1，∠AOF=∠FA′G=90°，∠AFO=∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴=（）²，
∴S_△GA′F=（）²，
∴S_{五边形GA′B′CH}=（）²-（）²，
∴S=-t²+t-．
分析：（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，证△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ=OA=DM=1，CZ=OB=MA=2，即可求出答案；
（2）设抛物线为y=ax²+bx+c，把A、D、C的坐标代入求出即可；
（3）分为三种情况，根据题意画出图形，①当点A运动到x轴上点F时，②当点C运动x轴上时，③当点D运动到x轴上时，根据相似三角形的性质和判定和三角形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，一次函数图象上点的特征，用待定系数法求出二次函数的解析式，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．