Question

13．已知：△ABC，AB=4，AC=3，以CB为边作等边三角形△CBP，连接AP，求AP的值．
这道题目难到了小明，首先没有图形，然后发现△ABC不是一个固定的图形，等边三角形△CBP也没有指定在BC所在直线的哪一侧，这两个不确定的因素会使得AP的值不一定是固定的长度，为此小明从特殊情况出发研究这个问题，按如下步骤进行了解决：
步骤1：取∠CAB=30°，以CB为边作等边三角形△CBP，使点A与点P在BC所在直线的异侧；
步骤2：要想建立AB，AC，AP的联系，需要将这三条线段进行转移处理，由于图中有等边三角形，可以通过旋转来完成线段与角的转移，因此将△ACP以P点为旋转中心，逆时针旋转60°，得到△P′BP，通过推理与计算得到了此位置时AP的值．
（1）请结合小明的步骤补全图形；
（2）结合补全后的图形求出AP的值；
（3）根据上述经验，改变∠CAB的度数，发现∠CAB在变化到某一角度时，AP有最大值，画出这个特殊角度时的示意图，写出AP的最大值，并说明取得最大值的思路．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）△ACP以P点为旋转中心，逆时针旋转60°，得到△P′BP，只要证明△ABP′是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
（3）当∠CAB=120°，最大值是7．证明方法类似（2）．

解答 解：（1）补全图形如图所示，

                   
（2）∵△ACP以P点为旋转中心，逆时针旋转60°，得到△P′BP
∴△ACP≌△P′BP
∴∠ACP=∠P′BP，AP=P′P，∠CPA=∠P′PB，
AC=P′B=3，
∵△CBP为等边三角形
∴∠APP′=60°∠CBP=60°，
∴△P′AP为等边三角形
∴AP=AP′，
∵∠CAB=30°，
∴∠ACB+∠ABC=150°
∴∠ABP′=360°-150°-120°=90°
在Rt△ABP′中
AP=AP′=$\sqrt{{4^2}+{3^2}}$=5，

（3）结论：当∠CAB=120°，最大值是7．
图形：如图所示，
                                     
思路：
①由∠CAB=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，
②由（2）中的旋转后的全等，可得∠ACP=∠P′BP，AP=P′P，AC=P′B，
③由∠CBP=60°，进而推出∠ABC+∠CBP+∠P′BP=180°（即点A、B、P共线），
④由AC=3，AB=4，可得AP=AP′=AB+BP′=7．

点评 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．