Question

4．课本题源
如图1和图2，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且两个三角形不相似．问：能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，请设计出分割方案；如果不能，请说明理由．

问题解决
小明通过分割∠C和∠C′，解决了问题，示意图如图3和图4（图中∠DCA=∠A′；∠D′C′A′=∠A）：
（1）小亮说：不分割∠C和∠C′，也能解决问题，请你尝试根据小亮的思路解决问题（在所给图（图5和图6）形上画出分割线，并注明相等的角即可）．
结论推广
（2）小红发现：对于有一个角对应相等的两个不相似的三角形，一定可以把每一个三角形分割成两个小三角形，使分割出的小三角形分别对应相似．请对她的发现做出解释（或者画出示意图和分割线，并注明相等的角也可）．
深入研究
（3）小红继续思索：对于三个角都不相等的两个三角形，是否可以把每一个三角形分割成三个小三角形，使分割出的小三角形分别对应相似呢？请帮小红想一想，如果可以，请你设计出分割方案（画出示意图和分割线，并注明相等的角；或者说明操作步骤）；如果不可以，请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）设∠CAB＞∠A′，∠C′B′A′＞∠B，作∠1=∠A′，∠2=∠B，根据两角对应相等得：△ADB∽△A′D′B′，同时根据外角定理可以得另外两个三角形也相似；
（2）如图7，当∠C=∠C′≠90°，同理作分割线，可得两三角形对应相似；
（3）如图8，当三个角都不相等时，设∠CAB＞∠A′，∠C′B′A′＞∠B，作∠1=∠A′，∠2=∠B，则有△ADB∽△A′D′B′，同理作∠3=∠4，∠6=∠5，可以得出另两对三角形对应相似．

解答 解：问题解决：
（1）如图5和6，设∠CAB＞∠A′，∠C′B′A′＞∠B，

作∠DAB=∠A′（即∠1=∠A′），作∠D′B′A′=∠B（即∠2=∠B），
则有△ADB∽△A′D′B′，
∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′，∠C=∠C′=90°，
∴△ACD∽△B′C′D′；
结论推广
（2）如图7，当∠C=∠C′≠90°，设∠CAB＞∠A′，∠C′B′A′＞∠B，

作∠DAB=∠A′（即∠1=∠A′），作∠D′B′A′=∠B（即∠2=∠B），
则有△ADB∽△A′D′B′，
∵∠ADC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠B′D′C′，∠C=∠C′，
∴△ACD∽△B′C′D′，
深入研究
（3）如图8，设∠CAB＞∠A′，∠C′B′A′＞∠B，

作∠DAB=∠A′（即∠1=∠A′），作∠D′B′A′=∠B（即∠2=∠B），
则有△ADB∽△A′D′B′，
设∠ACD＞∠C′B′D′，∠B′C′D′＞∠CAD，
作∠ACE=∠C′B′D′（即∠3=∠4），作∠E′C′B′=∠EAC（即∠6=∠5），
即可得到△ACE∽△C′B′E′，
∵∠EDC=∠1+∠B=∠A′+∠2=∠E′D′C′，
∠CED=∠3+∠5=∠4+∠6=∠C′E′D′，
即可得到△CED∽△C′E′D′．

点评 本题是三角形的综合题，属于作图问题，考查了相似三角形的判定方法：两角对应相等的两个三角形相似，并熟练掌握作一个角等于已知角，同时要熟记外角定理和直角三角形中有关角的性质．