Question

8．已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=2$\sqrt{3}$，以AD为一边向左作等边△ADE．
（1）求：△ABC的面积；
（2）判断AB与DE的位置关系是什么？请予以证明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质，可知∠DAC=30°，在RtADC中求出DC，再根据BC=2DC，由此即可解决问题．
（2）通过计算只要证明∠AFD=90°即可．

解答 （1）解：∵△ABC是等边三角形，且AD为BC边上的中线
∴AD⊥BC（三线合一），∠BAD=∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，∵AD=2$\sqrt{3}$，∴CD=BD=2，
∴BC=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$

（2）解：AB与DE的位置关系是AB⊥DE，理由如下：
∵△ADE是等边三角形
∴∠ADF=60°
∵△ABC是等边三角形，AD为BC边上的中线
∴AD为∠BAC的平分线（三线合一）
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∴∠AFD=180°-60°-30°=90°
∴AB⊥DE
（说明：或证∠BFD=90°或证∠AFE=90°也可以）

点评 本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一，属于基础题，中考常考题型．