题目内容

（1999•哈尔滨）已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ=时，求PA的长．

【答案】分析：（1）首先由勾股定理求出BC的长度，然后根据已知条件若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C，得出在相等的时间之内，Q点运动的路程是P点运动路程的2倍．如果作QH⊥AC，垂足为H，设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．那么根据正切函数的定义可分别求出tan∠QCA、tan∠QPA的值，再由一元二次方程根与系数的关系，求出以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程．
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，当S△PBQ=时，点Q的位置可能有两种情况：①点Q在AB上；②点Q在BC上．针对每一种情况，均可根据三角形的面积公式列出关于x的方程（设PA=x），求出的符合题意的解即为所求．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴
∴，
∴PH=CH-CP=（8-x），
∴tan∠QPA==2．（1分）
∵tan∠QCA=，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=，
tan∠QPA•tan∠QCA=，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y2-即4y2-11y+6=0．（1分）

（2）当S△PBQ=时，设PA=x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ=2x，BQ=6-2x．
S△PBQ=
=
=，
∴，
∵△=9-，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴，
∴，
∴S△PBQ=
=
=．
∴x2-11x+28=0，
解得：x1=4，x2=7．
∴S△PBQ=时，PA=4或7．（2分）
点评：本题主要考查了相似三角形的性质及判定，勾股定理、正切函数的定义、一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性较强，难度较大．注意在求第二问时，虽然点Q不能在AB上，但是在讨论时，不能遗漏这种情况．
练习册系列答案
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