Question

4．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BC、BD上分别取点E、F，则CF+EF的最小值为7.68．

Answer 1

分析 根据轴对称求最短路线的方法得出F点位置，进而利用相似三角形的性质CF+EF的值．

解答 解：如图所示：由题意可得出：作C点关于BD对称点C′连接CC′，交BD于O，则CC′⊥BD，CC′=2OC，
过点C′作C′E⊥BC于点E，交BD于点F，连接FC，此时CF+EF=C′E最小，
∵AB=6，BC=8，
∴CD=6，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=10，
∵∠COD=∠BCD=90°，∠CDO=∠BDC，
∴△COD∽△BCD，
∴$\frac{OC}{CD}$=$\frac{BC}{BD}$，即$\frac{OC}{6}$=$\frac{8}{10}$，
∴OC=4.8，
∴CC′=9.6，
∵C′E⊥BC，DC⊥BC，
∴C′E∥DC，
∴∠EC′C=∠OCD，
∴△CC′E∽△DCO，
∴$\frac{C′E}{OC}$=$\frac{CC′}{CD}$，即$\frac{C′E}{4.8}$=$\frac{9.6}{6}$，
解得C′E=7.68，
∴CF+EF的最小值为7.68．
故答案为：7.68．

点评 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及相似三角形的判定和性质，利用轴对称得出F点位置是解题关键．