Question

20．【问题提出】
已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积．
【问题探究】
为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究．
探究一：在Rt△ABC（图1）中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面积（用含a、b、α的代数式表示）
在Rt△ABC中，∠ABC=90°
∴sinα=$\frac{AB}{AC}$
∴AB=b•sinα
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AB=$\frac{1}{2}$absinα
探究二：
锐角△ABC（图2）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）
探究三：
钝角△ABC（图3）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）
【问题解决】
用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b两边的夹角）
【问题应用】
已知平行四边形ABCD（图4）中，AB=b，BC=a，∠B=α（0°＜α＜90°）
求：平行四边形ABCD的面积．（用含a、b、α的代数式表示）

Answer 1

分析 探究二：如图2中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；
探究三：如图3中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；
问题解决：S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b两边的夹角）；
问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；

解答 解：探究二：如图2中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°
∴sinα=$\frac{AH}{AC}$
∴AH=b•sinα
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$absinα

探究三：如图3中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°
∴sinα=$\frac{AH}{AC}$，
∴AH=b•sinα
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$absinα

问题解决：S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b两边的夹角），
故答案为S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b两边的夹角）．

问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHB中，∠AHB=90°
∴sinα=$\frac{AH}{AB}$，
∴AH=b•sinα
∴S_{平行四边形ABCD}=BC•AH=absinα．

点评 本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考创新题目．