Question

4．已知：如图，点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（其中x＞0）上，点D在双曲线y=$\frac{-4}{x}$ （其中x＜0）上，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，且点A、B、C、D围成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）设点A的坐标为（a，0），求a的值．

Answer 1

分析 （1）把B的坐标代入求出即可；
（2）过D作DE⊥x于点E，过点B作BF⊥x于点F，证△DAE≌△ABF，推出DE=AF=3-a，AE=FB=3，OE=3-a，从而求得D的坐标（a-3，3-a），代入y=$\frac{-4}{x}$ 即可求得a的值．

解答 解：（1）∵点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（其中x＞0）上，
∴3=$\frac{k}{3}$
∴k=3×3=9；

（2）过D作DE⊥x于点E，过点B作BF⊥x于点F，
则∠DEA=∠AF B=90°，
∵点B（3，3），
∴BF=3，OF=3，
∵A的坐标为（a，0），
∴OA=a，AF=3-a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
又∵∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF
在△DAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AFB}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF（AAS），
∴DE=AF=3-a，AE=FB=3，
∴OE=3-a，
又∵点D在第二象限，
∴D（a-3，3-a）；
∵点D在双曲线y=$\frac{-4}{x}$ （其中x＜0）上，
∴3-a=$\frac{-4}{a-3}$，
∴a=1或a=5（不合题意，舍去），
∴a=1．

点评 本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．