Question

9．如图，C为线段AB上一个动点，AB=2．分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 无最小值

Answer 1

分析 可设AC=x，则BC=2-x，由直角三角形的性质可表示出CD和CE，再利用勾股定理可用x表示出DE的长，再利用函数性质可求得答案．

解答 解：
设AC=x，则BC=AB-AC=2-x，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴DC²=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{2}$x²，CE²=$\frac{1}{2}$BC²=$\frac{1}{2}$（2-x）²，
∵∠DCA=∠ECB=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理可得DE²=CD²+CE²，
∴DE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（2-x）²=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴当x=1时，DE²=1，则DE有最小值1，
故选B．

点评 本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．