Question

9．已知关于x的一元二次方程ax²+（2+2a）x+a+2=0（a≠0）．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根都为整数，求整数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此即可证出此方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法求出方程的两个根，由方程的两个根均为整数，即可求出a值．

解答 证明：（1）△=（2+2a）²-4a（a+2）=4+8a+4a²-4a²-8a=4．
∵△=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵ax²+（2+2a）x+a+2=（x+1）（ax+a+2）=0，
∴x₁=-1，x₂=-$\frac{a+2}{a}$=-1-$\frac{2}{a}$．
∵方程的根均为整数，
∴a=±1或a=±2．

点评 本题靠了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两根．