Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6米，AB=10米，M点在线段CA上，从A向C运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从B向A运动，速度为2米/秒．运动时间为x秒，四边形BCMN的面积为y．
（1）当∠ANM=∠AMN时，求x的值；
（2）求四边形BCMN的面积y与运动时间为x秒之间的函数关系式．（写出自变量的取值范围）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=8米，可得AM=x米，AN=（10-x）米，利用条件可得到AM=AN，从而得到关于x的方程求得x值即可；
（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用x表示出NH，再根据四边形BCMN的面积=△ABC的面积-△AMN的面积，可得四边形BCMN的面积y与运动时间为x秒之间的函数关系式．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB²=BC²+AC²，
∴AC=8米，
∴AM=x米，AN=（10-2x）米，
若∠ANM=∠AMN，则AM=AN，
即x=10-2x，
解得t=$\frac{10}{3}$，
即当t为$\frac{10}{3}$秒时，∠ANM=∠AMN；
（2）如图，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{NH}{BC}$，
即：$\frac{2x}{10}$=$\frac{NH}{6}$，
∴NH=1.2x，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$x×1.2x=0.6x²，
四边形BCMN的面积y与运动时间为x秒之间的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$×6×8-0.6x²=24-0.6x²．

点评 本题主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意利用时间x表示出线段的长，化动为静是这类问题的一般思路．