Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，线段OA=5，OC=3，E为x轴上一点，且tan∠AOE=$\frac{4}{3}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（-3，4），再把A点坐标代入代入y=$\frac{m}{x}$可求得m=-12，则可得到反比例函数解析式；然后把A和C点坐标分别代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k和b的值，从而可确定一次函数解析式；
（2）先确定B点坐标，然后根据S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求解．

解答 解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，
在Rt△OAD中，tan∠AOE=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{4}{3}$，
∵OA=5，
∴AD=4，OD=3，
∴A（-3，4），
把A（-3，4）代入y=$\frac{m}{x}$（m≠0）得m=-3×4=-12，
所以反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$；
∵OC=3，
∴C（3，0），
把A（-3，4）、C（3，0）分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以一次函数解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=6}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$
∴B（6，-2），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×2=9．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．