Question

9．已知方程x²-3x+1=0的两根分别为x₁和x₂，不解方程：
（1）求代数式x₁²+x₂²的值；
（2）试证明两根中一根大于1，另一根小于1．

Answer 1

分析 （1）首先根据根与系数的关系求得两根之积或两根之和，整理x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入求得答案即可；
（2）由题意得出：（x₁-1）（x₂-1）＜0，进一步整理代入证得答案即可．

解答 （1）解：由题可得x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3²-2×1=7．
（2）证明：∵（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=1-3+1=-1＜0，
∴（x₁-1）与（x₂-1）异号，
∴x₁-1＞0，则x₂-1＜0，
∴x₁＞1，x₂＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．