Question

已知如图，在△ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，且∠ADB=60°，AB切△BCD的外切圆于B，求证：AD=2DC．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：作AH⊥BD于H，连接OD，如图，设DH=t，根据圆周角定理得∠BOD=2∠ACB=90°，则△OBD为等腰直角三角形，所以∠OBD=45°，再根据切线的性质得∠OBA=90°，所以∠ABD=45°；在Rt△AHD中，根据含30度的直角三角形三边的关系AD=2DH=2t，AH=

3

HD=

3

t，在RtABH中，根据等腰直角三角形的性质得AB=

2

AH=

6

t，然后证明△ABD∽△ACB，利用相似比可计算出AC=3t，则CD=AC-AD=t，所以AD=2DC．

解答：证明：作AH⊥BD于H，连接OD，如图，设DH=t，
∵∠ACB=45°，
∴∠BOD=2∠ACB=90°，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴∠OBD=45°，
∵AB切△BCD的外切圆于B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABD=45°，
在Rt△AHD中，∵∠ADH=60°，
∴AD=2DH=2t，AH=

3

HD=

3

t，
在RtABH中，∵∠ABH=45°，
∴AB=

2

AH=

6

t，
∵∠ABD=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AC=AD：AB，即

6

t：AC=2t：

6

t，
∴AC=3t，
∴CD=AC-AD=3t-2t=t，
∴AD=2DC．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系和相似三角形的判定与性质．