Question

18．如图，已知F是正方形ABCD边BC延长线上一点，FG⊥AF，FG交∠BCD外角平分线于G，求证：AF=FG．

Answer 1

分析 延长BA到K，使得AK=CF．只要证明△AFK≌△FGC，即可解决问题．

解答 解：延长BA到K，使得AK=CF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠B=∠DCB=∠DCF=90°，
∵CG平分∠DCF，
∴∠DCG=∠GCF=45°，
∵AK=CF，
∴BK=BF，
∴∠K=∠BFK=∠GCF=45°，
∵AF⊥FG，
∴∠AFG=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，∠AFB+∠GFH=90°，
∴∠BAF=∠GFH，
∴∠KAF=∠CFG，
在△AFK和△FGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KAF=∠CFG}\\{AK=CF}\\{∠K=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴△AFK≌△FGC，
∴AF=FG．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题吗，属于中考常考题型．