Question

如图，若正△A₁B₁C₁内接于正△ABC的内切圆，则△A₁B₁C₁与△ABC的面积的比值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  1

  6

Answer 1

分析：由于△ABC、△A₁B₁C₁都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A₁B₁的垂线，连接OA、OA₁；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A₁B₁的长，进而可求出它们的比例关系，进而得出△A₁B₁C₁与△ABC的面积的比值．

解答：解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，
∵△A₁B₁C₁和△ABC都是正三角形，
∴它们的内心与外心重合；
如图：设圆的半径为R；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；
AO=OD•

DO

tan∠OAD

=

3

R，
即AB=2

3

R；
同理可求得：A₁B₁=

3

R，
∴

A1B1

AB

=

3 R

2 3 R

=

1

2

，
则△A₁B₁C₁与△ABC的面积的比值为：（

1

2

） ²=

1

4

．
故选：C．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质以及正多边形的内外心重合等知识，得出

A1B1

AB

=

1

2

是解题关键．