Question

18．如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁、l₂分别交于点C和点D，P为直线l₃上一点，A、B分别是直线l₁、l₂上的定点．设∠CAP=∠1，∠APB=∠2，∠DBP=∠3．
（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？说明理由．
（2）在l₁∥l₂的前提下，若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系又怎样？直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥l₁，根据l₁∥l₂可知PE∥l₂，故可得出∠1=∠APE，∠3=∠BPE．再由∠2=∠APE+∠BPE即可得出结论；
（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段DC的延长线上与点P在线段CD的延长线上两种情况进行讨论．

解答 （1）∠2=∠1+∠3．
证明：如图1，过点P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又∵∠2=∠APE+∠BPE，
∴∠2=∠1+∠3；

（2）①如图2所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3-∠1．
理由：过点P作PF∥l₁，∠FPA=∠1．
∵l₁∥l₂，
∴PF∥l₂，
∴∠FPB=∠3，
∴∠2=∠FPB-∠PFA=∠3-∠1；
②如图3所示，当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1-∠3．
理由：过点P作PE∥l₂，∠EPB=∠3．
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₁，
∴∠EPA=∠1，
∴∠2=∠EPA-∠EPB=∠1-∠3

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．