题目内容

（2012•南安市质检）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于
2
的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为
1
2
1
2
；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，该三角形纸片直角顶点的坐标是
（
2
2
，
2
2
）或（1-
2
2
，1-
2
2
）
（
2
2
，
2
2
）或（1-
2
2
，1-
2
2
）
．
分析：（1）根据图形知，阴影部分的面积是Rt△OFE的面积；
（2）如图，正方形GFEO的面积为1，当重合的面积为正方形GFEO的面积的一半时，有两种情况：
①四边形OSCB的面积为
1
2
时，易证得四边形ACDO为正方形，△ABC≌△DSC，有四边形OSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有OD=OA=
2
2
即点C的坐标为(
2
2
，
2
2
)）．
②四边形FSCB的面积为
1
2
时，易证得四边形ACDF为正方形，△ABC≌△DSC，有四边形FSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有FD=FA=
2
2
即点C的坐标为（1-
2
2
，1-
2
2
）．
解答：解：（1）S=
1
2
OE•EF=
1
2
；
故答案是：
1
2
；

（2）正方形GFEO的面积为1，当重合的面积为正方形GFEO的面积的一半时，有两种情况：
①如图1，四边形OSCB的面积为
1
2
时，易证得四边形ACDO为正方形，△ABC≌△DSC，有四边形OSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有OD=OA=
2
2
即点C的坐标为（
2
2
，
2
2
）．
②如图2，四边形FSCB的面积为
1
2
时，易证得四边形ACDF为正方形，△ABC≌△DSC，有四边形FSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有FD=FA=
2
2
即点C的坐标为(
2-
2
2
，
2-
2
2
)；
综上所述，直角顶点的坐标为（
2
2
，
2
2
）或（1-
2
2
，1-
2
2
）．
故答案是：（
2
2
，
2
2
）或（1-
2
2
，1-
2
2
）．
点评：本题考查了相似综合题．此题涉及到的知识点有全等三角形的判定与性质、正方形的性质三角形的面积公式等．
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a2
a2-a
-
1
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．
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