Question

已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4。

（1）在图中找出两对相似三角形，并选取一对加以说明。
（2）若AE=x，BD=y，试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围。
（3）试说明：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（4）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上（不包括端点），且∠DCE=30°，请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时，直接写出线段AD、DE、EB的比是多少？

Answer 1

解：（1）△AEC∽△CED，△AEC∽△BCD。
∵∠ACD+∠DCE=∠ACD+45°
∴∠ACE=∠BDC
∴△AEC∽△BCD。
（2）△AEC∽△BCD
∴BD·AE=AC²
BD·AE=AC²=8
∴（2＜x＜4）。
（3）将△ABE绕点C顺时针旋转90°，设E点对应点为E″，
连接E″D
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴旋转后B与A重合
又∵∠DCE=45°
∴∠E″CD=45°
又∵CE″=CE，CD为公共边
∴△CE”D≌△CED
∴DE″=DE
又∵∠E″AC=45°，∠CAD=45°
∴∠E″AD=90°
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形。
（4）AD：DE： EB=1：：1。