Question

如图所示，抛物线经过原点，与轴交于另一点,直线与两坐标轴分别交于、两点，与抛物线交于、两点.

（1）求直线与抛物线的解析式.

（2）若抛物线在轴上方的部分有一动点，设，求当的面积最大时的值.

（3）若动点保持（2）中的运动路线，问是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）将点代入直线可得

所以直线的解析式为

当时,，所以点的坐标为（1，3），

将三点的坐标分别代入抛物线,可得

解得所以所求的抛物线为.       4分

（2）因的长是以定值，所以当点为抛物线的顶点时，的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为，此时.    8分

（3）存在

把代入直线得,所以点

把代入抛物线得或,所以点.

设动点坐标为，其中

则得：

由即

解得或,舍去得,由此得

所以得点存在，其坐标为（1，3）.