Question

如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：
①∠CEH=45°；②GF∥ED；③2OH+DH=BH；④BG=

2

DG；⑤S_△BEC：S_△BGC=

3 +1

2

．
其中正确的结论有（　　）

• A、5个
• B、4个
• C、3个
• D、2个

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：①根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠CEH=45°；
②由条件就可以得出∠CAE=∠BDE=30°，∠DEF=30°，就可以得出△DEF≌△EDG，就可以得出DF=EG，就可以得出CG=CF，得出∠CGF=75°，由∠CED=75°，就可以得出GF∥ED；
③由O为BD中点可以得出，BD=2OD=2（OH+HD），BD-DH=BH，得出BH=2（OH+HD）-DH=2OH+2HD-HD=2OH+DH；
④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，由

BG

DG

=

S△BCG

S△DCG

．就可以得出

BG

DG

=

1 2 CG•sin60°•BC

1 2 CG•sin30°•CD

，就有

BG

DG

=

3

即BG=

3

DG；，
⑤由S_△BEC：S_△BGC=

EC

GC

，由GE=DF=tan15°•AD．设AD=CD=BC=AB=x，就有DF=EG=（2-

3

）x，GC=x-（2-

3

）x=（

3

-1）x，就有

EC

GC

=

1

3 -1

=

3 +1

2

，而得出结论．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ADB=∠CDB=45°．
∵△BEC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°，
∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，
∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=75°，
∴∠EAD=∠EDA=15°，
∴∠DEF=30°，
∴∠CEF=45°．故①正确；
②∵∠EDC=75°，∠BDC=45°，
∴∠EDB=30°，
∴∠DEF=∠EDG．∠EGD=75°．
∵∠ADC=90°，∠DAF=15°，
∴∠EFD=75°，
∴∠EFD=∠EGD．
在△DEF和△EDG中，

∠EFD=∠EGD ∠DEF=∠EDG DE=ED

，
∴△DEF≌△EDG（AAS），
∴DF=EG．
∵EC=DC，
∴EC-EG=DC-DF，
∴CG=CF，
∴∠CGF=∠CFG=75°，
∴∠CED=∠CGF，
∴GF∥ED．故②正确；
③O为BD中点，
∴BD=2OD=2（OH+HD）．
∵BD-DH=BH，
∴BH=2（OH+HD）-DH=2OH+2HD-HD=2OH+DH．故③正确；
④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，
∴∠BMC=∠DNC=90°，
∴BM=sin60°•BC，DN=sin30°•CD．
设AB=BC=CD=AD=x，
∴BM=

3

2

x，DN=

1

2

x．
∵

BG

DG

=

S△BCG

S△DCG

．
∴

BG

DG

=

1 2 • 3 2 x•CG

1 2 • 1 2 x•CG

，
∴

BG

DG

=

3

即BG=

3

DG．故④错误；
⑤∵GE=DF=tan15°•AD，设AD=CD=BC=AB=x，
∴CE=x，CG=x-GE．
∵tan15°=2-

3

，
∴GE=DF=（2-

3

）x，
∴CG=x-（2-

3

）x=（

3

-1）x．
∵S_△BEC：S_△BGC=

EC

GC

，
∴S_△BEC：S_△BGC=

x

( 3 -1)x

=

3 +1

2

．故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤共4个，
故选B．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行线的判定的运用，解答时灵活运用正方形的性质求解是关键．