Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段BC的长；
（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=90°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，以及AC=6，求出BC即可；
（2）需要分类讨论：△PHQ∽△ABC和△QHP∽△ABC两种情况；
（3）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及

OE

QN

=

PO

PN

，表示出OE的长，利用m=BE=OB-OE求出即可．

解答：（1）解：如图l，∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°
∴∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=

3

2

AC=3

3

；

（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH=AQ•sin60°=

3 (3-t)

2

．
需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，

PH

AB

=

HQ

BC

，即=

3- 3-t 2 +t

3

=

3 (3-t) 2

3 3

，
解得，t=0．
同理，当△QHP∽△ABC时，t=1．
综上所述，t=0或t=1；

（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N．
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴QN=QA
∴△AQN为等边三角形，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∴OE∥QN．
∴△POE∽△PNQ
∴

OE

QN

=

PO

PN

，
∴

OE

3-t

=

1

2

，
∴OE=

3

2

-

1

2

t
∵EF∥x轴，
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°
∴EF=BE，
∴m=BE=OB-OE=

1

2

t+

3

2

（0＜t＜3）．

点评：此题主要考查了相似三角形的综合应用以及等边三角形的性质等知识，根据数形结合得出△FCP∽△BCA是解题关键．