Question

14．已知正方形OABC的边长为a，如图，以O为坐标原点，OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，直线AB、CB与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象交于P，Q两点，连接OP，OQ，PQ．若a=4，且BP=AP，则k=8；若k=8$\sqrt{3}$，且∠POQ＜30°，则边长a的取值范围是$\sqrt{8\sqrt{3}}$＜a＜2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 ①若a=4，根据待定系数法即可求出k．②由k=8$\sqrt{3}$，当∠POQ=30°时，易知∠COQ=∠QOP=∠POA=30°，设P（$\sqrt{3}$m，m）．则有$\sqrt{3}$m²=8$\sqrt{3}$，可得m=2$\sqrt{2}$，a=2$\sqrt{6}$，当点B在反比例函数图象上时，B（$\sqrt{8\sqrt{3}}$，$\sqrt{8\sqrt{3}}$），由此即可解决问题．

解答 解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=4，
∵PB=PA，
∴P（4，2），
∵点P（4，2）在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=8，
∴y=$\frac{8}{x}$．
②∵k=8$\sqrt{3}$，当∠POQ=30°时，易知∠COQ=∠QOP=∠POA=30°，
设P（$\sqrt{3}$m，m）．则有$\sqrt{3}$m²=8$\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=2$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{6}$，
当点B在反比例函数图象上时，B（$\sqrt{8\sqrt{3}}$，$\sqrt{8\sqrt{3}}$），
∴∠POQ＜30°，则边长a的取值范围是$\sqrt{8\sqrt{3}}$＜a＜2$\sqrt{6}$，
故答案为8，$\sqrt{8\sqrt{3}}$＜a＜2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查正方形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，需要利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型．