Question

4．如图1，己知直线m⊥直线n，O为垂足．点A在直线m上，点D在直线n上，以OA、AD为边分别作等边△OAC和△ADE．
（1）求证：CE=OD．
（2）若∠DAC=10°，求∠AEC的度数；
（3）如图2，若点P是直线m上的一个动点，且点P在点A和点O的右边，连接PC，以PC为边在直线m的上方直线n的右侧作等边三角形△PCM，延长MA交直线n于N点，当P点运动时，∠ANO的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°，求出∠CAE=∠DAO，根据SAS证△CAE≌△OAD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACE=∠AOD=90°，求出∠CAE=50°，即可得出∠AEC的度数．
（3）根据等边三角形的性质得出OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，求出∠OCP=∠ACM，根据SAS推出△OCP≌△ACM，推出∠COA=∠CAM=60°，求出∠OAN=∠MAP=60°，即可得出结果．

解答 （1）证明：如图所示：
∵△OAC和△ADE是等边三角形，
∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠DAE=60°
∴∠CAE=∠DAO=60^○-∠CAD，
在△CAE和△OAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AO}&{\;}\\{∠CAE=∠OAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴CE=OD；
（2）解：由（1）得：△CAE≌△OAD，
∴∠ACE=∠AOD=90°，
∵∠DAC=10°，∠DAE=60°，
∴∠CAE=60°-10°=50°，
∴∠AEC=180°-90°-50°=40°．
（3）解：∠ANO的值不变化，其度数为30°
理由是：∵△AOC和△CPM是等边三角形，
∴OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，
∴∠OCP=∠ACM，
在△OCP和△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}&{\;}\\{∠OCP=∠ACM}&{\;}\\{CP=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△ACM（SAS），
∴∠COA=∠CAM=60°，
∴∠MAP=180°-60°-60°=60°，
∴∠OAN=∠MAP=60°，
∵∠AON=90°，
∴∠ANO=90°-60°=30°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用；本题综合性强，难度适中，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．