Question

18．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；
如图1，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，AD∥BE，∠D=80°，∠C=40°，探究四边形ABCD是否为等邻角四边形，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

Answer 1

分析 （1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）先根据平行线的性质得出，∠BEC=80°，在根据三角形的内角和求出∠CBE=60°，进而用三角形得出∠ABC=120°，最后用四边形的内角和即可得出∠A=120°=∠ABC即可得出结论．
（3）分两种情况考虑：Ⅰ、当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图1，由S_{四边形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′，求出四边形ACBD′面积；
Ⅱ、当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图2，由S_{四边形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}，求出四边形ACBD′面积即可．

解答 解：（1）矩形或正方形；

（2）四边形ABCD是等邻角四边形，理由：
∵AD∥BE，∠D=80°，
∴∠BEC=∠D=80°，
∵∠C=40°，
根据三角形的内角和得，∠CBE=180°-∠C-∠BEC=180°-40°-80°=60°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE=120°，
在四边形ABCD中，根据四边形的内角和得，∠A=360°-∠D-∠C-∠ABC=120°，
∴∠A=∠ABC，
∴四边形ABCD是“等邻角四边形”；

（3）∵Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）且∠BAC＜90°，
∴∠CAD'＜90°，∠AD'B＞90°，
∵凸四边形AD′BC为等邻角四边形，
∴只有∠AD′B=∠D′BC或∠D′BC=∠ACB；
Ⅰ、当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，
如图1，
∴∠ED′B=∠EBD′，
∴EB=ED′，
设EB=ED′=x，
∴CE=BC+BE=3+x．AE=AD'+D'E=AD'+D'E=4+x，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC²+CE²=AE²，
∴4²+（3+x）²=（4+x）²，
解得：x=4.5，
在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
∴AD=4，
由旋转知，AD'=AD=4，
∴ED'=x=4.5，AE=4+x=8.5
过点D′作D′F⊥CE于F，
∴D′F∥AC，
∴△ED′F∽△EAC，
∴$\frac{D'F}{AC}=\frac{ED'}{AE}$，即$\frac{D'F}{4}=\frac{4.5}{8.5}$，
解得：D′F=$\frac{36}{17}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC×EC=$\frac{1}{2}$×4×（3+4.5）=15；S_△BED′=$\frac{1}{2}$BE×D′F=$\frac{1}{2}$×4.5×$\frac{36}{17}$=$\frac{81}{17}$，
则S_{四边形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′=15-$\frac{81}{17}$=$\frac{174}{17}$；
Ⅱ、当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，
如图2，
∴∠CED'=∠ACB=∠D'BC=90°，
∴四边形ECBD′是矩形，
∴ED′=BC=3，
在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=$\sqrt{AD{'}^{2}-D'{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
∴AD=4，
由旋转知，AD'=AD=4，
在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴CE=AC-AE=4-$\sqrt{7}$
∴S_△AED′=$\frac{1}{2}$AE×ED′=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}$×3=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，S_{矩形ECBD′}=CE×CB=（4-$\sqrt{7}$）×3=12-3$\sqrt{7}$，
则S_{四边形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$+12-3$\sqrt{7}$=12-$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．